Question

【题目】已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值；

（3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1) 由点是圆的圆心，，原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可求答案.
(2) 设，则,求出直线的方程，将点坐标代入直线的方程，可得，当且仅当时，取得最小值，可得到点的坐标，则可得到直线的方程，再由原点到直线的距离为，可求出的值.
(3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范围.

(1)由点是圆的圆心，，则,,则

坐标原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可得.

所以椭圆的方程为

（2）设，则

则，则直线的方程为.

将点坐标代入直线的方程，可得

故，则当且仅当时，取得最小值.

此时点的坐标为，直线的方程为.

故.

(3)由,可得,将代入椭圆方程得：

，即，故.

又点到直线的距离为，则

所以，

可得

令，则

故取值的范围是.