Question

已知函数f（x）=tan（3x+

π

4

）
（1）求f（

π

9

）的值；
（2）设α∈（π，

3π

2

），若f（

α

3

+

π

4

）=2，
①求cos（α-

π

4

）的值；
②求

3cos2α+sin2α

1-sinαcosα

的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正切即可求得f（

π

9

）的值；
（2）①依题意，易求tanα=2，α∈（π，

3π

2

），可求得cosα与sinα，利用两角差的余弦即可求得cos（α-

π

4

）的值；
②由tanα=2，将所求关系式中的“弦”化“切”即可求得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=tan（3x+

π

4

），
∴f（

π

9

）=tan（

π

3

+

π

4

）=

tan π 3 +tan π 4

1-tan π 3 tan π 4

=

3 +1

1- 3

=-2-

3

；
（2）①∵f（

α

3

+

π

4

）=tan[3（

α

3

+

π

4

）+

π

4

]=tan（α+π）=tanα=2，
又α∈（π，

3π

2

），
∴cosα=-

1

5

=-

5

5

，sinα=-

2

5

=-

2 5

5

，
∴cos（α-

π

4

）=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

=-

5

5

×

2

2

-

2 5

5

×

2

2

=-

3 10

10

．
②∵tanα=2，
∴原式=

3cos2α-2sin2α

sin2α+cos2α-sinαcosα

=

3-tan2α

tan2α-tanα+1

=

3-4

4-2+1

=-

1

3

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查两角和的正切，两角差的余弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题．