Question

已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．
（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数
列”，试确定的最大值；
（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；
（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，
并说明理由．

Answer 1

（1）2 （2）．    （3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．

(1)根据题意可知，
易得，即数列一定是“2项可减数列”.
（2）因为数列是“项可减数列”，
所以必定是数列中的项.
而是递增数列，故，
所以必有，，
是解决本小题的关键.
(3) 的逆命题为：
已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，
则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．
证明要注意利用≤≤,求出的通项公式.
（1）设，则，
易得，即数列一定是“2项可减数列”，
但因为，所以的最大值为2． ………………5分
（2）因为数列是“项可减数列”，
所以必定是数列中的项， ………………………7分
而是递增数列，故，
所以必有，，
则
，
所以，即．
又由定义知，数列也是“项可减数列”，
所以．      ……………………………10分
（3）（2）的逆命题为：
已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，
则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．……………………12分
理由如下：因为≤≤，所以当≥时，，
两式相减，得，即 （）
则当时，有（）
由（）－（），得，
又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列．
设公差为，则，
对于任意的≤≤≤，，
因为≤，所以仍是中的项，
故数列是“项可减数列”．