Question

本题满分15分）已知函数（a-b）<b)。

（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。

（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，

证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求

Answer 1

解析：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。

(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，

因为f’(x)=(x-1)(3x-5)

故f’(2)=1

f(2)=0,

所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2

（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），

       由于a<b.

       故a<.

       所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.[

       不妨设x₁＝a，x₂＝，

       因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零点，

       故x₃＝b.

       又因为－a＝2（b－），

       x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x₄满足题意，且x₄＝.