Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有两个零点为1和2，且f（0）=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若函数F（x）=f（x）-kx在区间[-2，2]上具有单调性，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解法一：由题意可得

f(1)= a+b+c=0 f(2)=4a+2b+c=0 f(0)= c=2

，解a、b、c的值，即得f（x）的解析式．
法二．依题意设f（x）=a（x-1）（x-2），由f（0）=2a=2，求得a的值，即得f（x）的解析式．
（2）化简F（x）=x²-（k+3）x+2，根据F（x）在区间[-2，2]上具有单调性可得

k+3

2

≤-2，或 

k+3

2

≥2，
由此求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）解法一：由题意可得

f(1)= a+b+c=0 f(2)=4a+2b+c=0 f(0)= c=2

，解得

a=1 b=-3 c=2

，…（5分）
∴f（x）=x²-3x+2． …（6分）
法二．依题意设f（x）=a（x-1）（x-2），…（2分）
由f（0）=2a=2，得a=1…（4分），f（x）=（x-1）（x-2）=x²-3x+2．…（6分）
（2）F（x）=x²-3x+2-kx=x²-（k+3）x+2．…（8分）
F（x）在区间[-2，2]上具有单调性，
∴

k+3

2

≤-2，或 

k+3

2

≥2，…（10分）
解得 k≤-7，或k≥1．…（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，函数的零点的定义，属于基础题．