Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，平面，，，为棱上一点，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】

（1）由平面得，又底面为菱形可得，则平面，从而；

（2）设菱形的对角线交点为，以为原点，分别以、的方向为，轴建立空间直角坐标系，借助空间向量求出平面法向量的夹角，从而求出答案；

（3）由图可知，由题意可知三棱锥的高为，由此可求出答案．

解：（1）因平面，故，

又因底面为菱形，故，

又，平面，

∴平面，

而平面，

∴；

（2）设菱形的对角线交点为，因，平面，

以为原点，分别以、的方向为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

，，

∴平面和平面的一个法向量分别为，，

∴，

由图可知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

（3）由图可知，，

因，可知三棱锥的高为，

∴．