Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，且，.

（1）证明：.

（2）若，试在棱上确定一点，使与平面所成角的正弦值为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点为棱的中点

【解析】

（1）在同一平面内用数据说话证明 ，利用平面，证明，

从而得证平面，得到.

（1）取的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，使用空间向量求及平面的一个法向量，利用夹角公式求解即可.

（1）证明：∵，且，∴，

∴，又∵，∴，即.

∵平面，平面，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴.

（2）解：取的中点，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.如图所示.

设，则，，，，，

则，，，

设，

则.

由（1）可知，平面，∴为平面的一个法向量.

设与平面所成的角为.

则，

整理得，解得或（舍），

∴点为棱的中点.