题目内容
求使函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
解：根据题意，对任意的x∈R有f（x）＞0恒成立，
①若a2+4a-5=0，则a=1或a=-5，
当a=1时，f（x）=3＞0恒成立，即a=1符合题意；
当a=-5时，f（x）=24x+3＞0不恒成立，即a=-5不符合题意；
②若a2+4a-5≠0，
则根据题意，有
，
解可得1＜a＜19；
综上所述，所求的充要条件为1≤a＜19．
分析：根据题意，函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象全在x轴上方，即对任意的x∈R有f（x）＞0恒成立；分①a2+4a-5=0与②a2+4a-5≠0两种情况讨论，分别求出a的范围，进而对求出的范围求并集可得答案．
点评：本题考查充要条件的判断，解题中要注意对a2+4a-5=0与a2+4a-5≠0分类讨论，容易遗忘a2+4a-5=0这种情况．
①若a2+4a-5=0，则a=1或a=-5，
当a=1时，f（x）=3＞0恒成立，即a=1符合题意；
当a=-5时，f（x）=24x+3＞0不恒成立，即a=-5不符合题意；
②若a2+4a-5≠0，
则根据题意，有
，解可得1＜a＜19；
综上所述，所求的充要条件为1≤a＜19．
分析：根据题意，函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象全在x轴上方，即对任意的x∈R有f（x）＞0恒成立；分①a2+4a-5=0与②a2+4a-5≠0两种情况讨论，分别求出a的范围，进而对求出的范围求并集可得答案．
点评：本题考查充要条件的判断，解题中要注意对a2+4a-5=0与a2+4a-5≠0分类讨论，容易遗忘a2+4a-5=0这种情况．
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