Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

（1）化简f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f（x）为奇函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦公式得 2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）=sin（2x+θ），再由二倍角的余弦公式得2

3

cos²（x+

θ

2

）=

3

cos（2x+θ）+

3

，再利用两角和的正弦公式进行化简．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，即 2sin（θ+

π

3

）=0，即θ+

π

3

=kπ，k∈z，根据 0≤θ≤π，求出θ 的值．
（3）由f（x）=1，化简可得sin2x=-

1

2

，故有 2x=-

π

6

+2kπ或2x=

7π

6

+2kπ，解出x．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，所以2sin（θ+

π

3

）=0，即θ+

π

3

=kπ，k∈z，由 0≤θ≤π，所以θ=

2π

3

．
（3）f（x）=2sin（2x+θ+

π

3

）=-2sin2x=1，所以sin2x=-

1

2

，
∴2x=-

π

6

+2kπ或2x=

7π

6

+2kπ，所以，x=kπ-

π

12

  或 x=kπ+

7π

12

，
在x∈[-π，π]中，x∈{-

π

12

，-

5π

12

，

7π

12

，

11π

12

}．（14分）

点评：本题考查二倍角的三角公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的奇偶性，已知三角函数值求角．