Question

已知函数f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的三角公式化简函数的解析式，从而求得其最小正周期．
（2）当f（x）取最大值时，sin(2x-

π

3

)=1，2x-

π

3

=2kπ+

π

2

（k∈Z），解出x即得所求．
（3）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，即得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）因为f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+1-cos2(x-

π

12

)

=2[ 3 2 sin(2x- π 6 )- 1 2 cos(2x- π 6 )]+1 =2sin[(2x- π 6 )- π 6 ]+1 =2sin(2x- π 3 )+1

所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）当f（x）取最大值时，sin(2x-

π

3

)=1，此时2x-

π

3

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

5π

12

（k∈Z），
所以所求x的集合为{x|x=kπ+

5π

12

}（k∈Z）．
（3）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的周期性和最值，求正弦函数的单调区间，化简函数的解析式，是解题的突破口．