Question

已知函数是奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在区间[1，4]是减函数
（3）求函数f（x）在区间[1，4]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可得，可求q．，由，可求p，从而可求
（2）由（1）可得=，设1≤x₁＜x₂≤4，=，根据条件可判断
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值f（4）
解答：（1）解：∵f（x）是奇函数，
∴对定义域内的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即，整理得：q+3x=-q+3x
∴q=0
又∵，
∴，解得p=2
∴所求解析式为
（2）由（1）可得=，f（x）在区间[1，4]上是减函数．
证明如下：设1≤x₁＜x₂≤4，，
则由于=
因此，当1≤x₁＜x₂≤4时，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0
从而得到f（x₁）-f（x₂）＞0即，f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间[1，4]是减函数．
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值=
点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）在求解函数解析式中的应用，函数的单调性的定义在证明函数单调性中的应用，及利用函数的单调性在求解函数最值中的应用．