题目内容
已知函数是奇函数,且满足
(Ⅰ)求实数、的值;
(Ⅱ)试证明函数在区间单调递减,在区间单调递增;
(Ⅲ)是否存在实数同时满足以下两个条件:1不等式对恒成立; 2方程在上有解.若存在,试求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】
(Ⅰ) 由得,解得.
由为奇函数,得对恒成立,
即,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
任取,且,
,
∵,∴,,,
∴,
所以,函数在区间单调递减.
类似地,可证在区间单调递增.
(Ⅲ)对于条件1:由(Ⅱ)可知函数在上有最小值
故若对恒成立,则需,则,
对于条件2:由(Ⅱ)可知函数在单调递增,在单调递减,
∴函数在单调递增,在单调递减,又,,,所以函数在上的值域为
若方程在有解,则需.
若同时满足条件1.2,则需,所以
答:当时,条件1.2同时满足.
【解析】略
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