Question

【题目】已知圆：，直线过原点.

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或

【解析】

（1）分类讨论：当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可.

（2）根据题意设直线方程为，圆心到直线的距离为，利用三角形的面积公式可得时的面积最大，从而可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.

（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与圆相切，

∴符合题意：

当直线的斜率存在时，设的斜率为，

则直线方程为，即.

则，解得，

即直线的方程为或；

（2）∵直线与圆交于，两点，∴直线的斜率存在，

设直线方程为，圆心到直线的距离为，

由于，

∴当取最大值1，即时的面积最大.

此时为等腰直角三角形，，

∴，解得或.

故直线的方程为：或.