Question

（2013•浙江模拟）已知a∈R，函数f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性，进而可求极值       
 （2）由f（x）=ax-lnx，可得f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，然后结合讨论a的范围，以确定f‘（x）的正负，进而可确定函数f（x）的单调性，求出最小值即可求解a

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx⇒f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，…（2分）       
  x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，e）时，f'（x）＞0，
所以减区间为（0，1），增区间为（1，e），极小值为f（1）=1，无极大值．  …（5分）
（2）∵f（x）=ax-lnx
∴f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①a≤0时，f‘（x）＜0在（0，e]上恒成立
∴f（x）在（0，e]上单调递减
∴f（e）=ae-1=3
∴a=

4

e

（舍）（8分）
②e≤

1

a

即0＜a≤

1

e

时，f‘（x）＜0在（0，e]上恒成立
∴f（x）在（0，e]上单调递减
∴f（e）=ae-1=3
∴a=

4

e

（舍）（11分）
③a＞

1

e

时，x∈(0，

1

a

)时，f’（x）＜0，x∈(

1

a

，e)f′（x）＞0
∴f（x）在（0，

1

a

）单调递减，在（

1

a

，e）上单调递增
∴f（

1

a

）=1-ln

1

a

=3
∴a=e²（14分）
综上可得，a=e²（15分）

点评：本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性及求解函数的最值中的应用，还考查了函数的最值求解与函数的恒成立问题之间的相互转化关系的应用．