题目内容
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,记Sn为数列{an}的前n项和.(1)求证: an2=2Sn-an;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若bn=3n+(-1)n-1λ·
(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有bn+1＞bn?
(1)证明:在已知式中，
当n=1时，a13=a12,∵a1＞0,∴a1=1. ?
当n≥2时，a13+a23+…+an-13+an3=Sn2. ①?
a13+a23+…+an-13=Sn-12. ②?
由①-②,得an3=an(2Sn-1+an). ?
∵an＞0,∴an2=2Sn-1+an,即an2=2Sn-an.?
∴a1=1适合上式，an2=2Sn-an(n∈N*). ?
(2)解:由(1)知,an2=2Sn-an(n∈N*), ③?
当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1. ④?
当③-④,得?
an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1. ?
∵an+an-1＞0,∴an-an-1=1.?
数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n. ?
(3)解:∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ·2=3n+(-1)n-1λ·2n. ?
∴bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ·2 n+1-［3n+(-1)n-1λ·2n］=2·3n-3λ(-1)n-1·2n＞0.?
∴(-1)n-1·λ＜(
)n-1. ⑤
当n=2k-1,k=1,2,3,…时，⑤式即为λ＜(
)2k-2. ?
依题意，⑥式对k=1,2,3,…都成立，?
当n=2k,k=1,2,3,…时，⑤式即为λ＞-(
)2k-1, ⑦?
依题意,⑦式对k=1,2,3,…都成立，∴λ＞-
. ?
∴-
＜λ＜1.又λ≠0,?
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*,都有bn+1＞bn.
