题目内容
在平面直角坐标系
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
，
两点，点
关于坐标原点的对称点为
，直线
，
分别交椭圆
的右准线
于
，
两点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若点
的坐标为
，试求直线
的方程；
（3）记
，
两点的纵坐标分别为
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】
（1）
，（2）
，（3）
.
【解析】
试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中
三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆定义：点
到两个焦点距离和为
，求出
的值，再由
求出
的值，就可得到椭圆的标准方程（2）由点
关于坐标原点的对称点为
，可直接写出点坐标；又由点
及
，可得直线
方程，再由方程与椭圆方程解出A点坐标，根据两点式就可写出直线
的方程，（3）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，先根据直线AB垂直
轴的特殊情况下探求
的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值.本题难点在如何利用条件消去参数. 点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键.
试题解析：（1）由题意，得
，即
， 2分
又，
，椭圆
的标准方程为. 5分
（2）
，
，又
， 
，
直线
：
， 7分
联立方程组
，解得
， 9分
直线
：
，即. 10分
（3）当
不存在时，易得
,
当存在时，设
，
，则
，
，
，两式相减， 得
，
，令
，则
， 12分
直线
方程：
，
，
，直线
方程：
，
， 14分
，又，
，
，所以
为定值. 16分
考点：椭圆定义，消参数，点差法.
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