Question

【题目】已知函数.

（1）若是实数集上的奇函数，求的值；

（2）用定义证明在实数集上的单调递增；

（3）若的值域为，且[，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m的值；
（2）利用函数的单调性定义证明即可；
（3）由可得，即，解之即可.

（1）∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，

即2m﹣（ +）=02m﹣1=0，

解得m=.

（2）设 x1＜x2且x1，x2∈R，

则f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，

∵x1＜x2∴，

，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上单调递增.

（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，

且，∴D=（m﹣1，m），

∵

∴，∴m的取值范围是．