Question

4．若点P在抛物线y²=2x上运动，A的坐标为（$\frac{7}{2}$，4），那么点P到y轴的距离与到点A的距离之和的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 过点P作PN⊥准线l交y轴于点M，P到y轴的距离=|PM|-$\frac{1}{2}$．当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值|FA|，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：y²=2x的准线是x=-$\frac{1}{2}$．抛物线的焦点坐标为（$\frac{1}{2}$，0）
过点P作PN⊥准线l交y轴于点M，
则P到y轴的距离=|PN|-$\frac{1}{2}$．
当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值
|FA|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴|PA|与P到y轴的距离之和的最小值=5-$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、两点之间的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．