Question

如图，P是△ABC所在平面外一点，Aˊ、Bˊ、cˊ分别是△PBc、△PCA、△PAB的重心．

(1)求证：平面AˊBˊcˊ∥平面ABC；

(2)求S_△AˊBˊCˊ:S_△ABC．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结PAˊ、PCˊ并延长分别交BC、AB于M、N， ∵Aˊ、cˊ分别是△PBC、△PAB的重心， ∴M、N分别是BC、AB的中点．连结MN， 由==．∴AˊCˊ∥MN，MN平面ABC． ∴AˊCˊ∥平面ABC． 同理AˊBˊ∥平面ABC．而AˊCˊ和AˊBˊ是平面AˊBˊCˊ内的相交直线，∴平面AˊBˊCˊ∥平面ABC． (2)解：由(1)可知AˊCˊ∥MN，AˊCˊ：MN=, ∴AˊCˊ=MN=AC=AC． 同理AˊBˊ∥AB．BˊCˊ=BC． ∴===, ∴△AˊBˊCˊ∽△ABC， ∴S△AˊBˊCˊ∶S△ABC=1∶9． 点评：相似图形中，面积之比等于相似比的平方在立体几何中仍然适用，只需将其相似比求出便可．