Question

如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.

(1)证明PA⊥BF；

(2)求面APB与面DPB所成二面角的大小.

Answer 1

思路解析:本题考查了二面角的求法.

(1)证明：在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF.∴AO为PA在平面ABF内的射影.

∵O为BF中点，∴AO⊥BF.∴PA⊥BF.

(2)解法一：∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC.而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，

∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF.

又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO=，DO=，BO=.

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连结AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角的平面角.

在△AHO中，OH=，tan∠AHO=

在△DHO中，tan∠DHO=

而tan∠AHD=tan(∠AHO+∠DHO)=

所以面APB与面DPB所成二面角的大小为π-arctan

 

解法二：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，A(0，-，0)，B(，0，0)，D(0，2，0)，

∴=(0,-,-1)，=(,0,-1)，=(0,2,-1).

设平面PAB的法向量为n₁=(x₁，y₁，1)，则n₁⊥，n₁⊥，得n₁=(，-2，1).

设平面PDB的法向量为n₂=(x₂，y₂，1)，则n₂⊥、n₂⊥，得n₂=(，1).

cos〈n₁、n₂〉=

所以面APB与面DPB所成二面角的大小为arccos