Question

3．设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）；
（Ⅱ） 设g（x）=f'（x）e^-x，求函数g（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据求导公式和法则求出f′（x），由条件列出方程组求出a、b的值，代入后求出f（x）；
（Ⅱ）由（1）求出g（x）并化简，根据求导公式和法则求出g′（x），求出g′（x）=0的根后，由导数与函数单调性的关系求出g（x）的单调区间，由极值的定义求出函数g（x）的极值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f'（1）=2a，f'（2）=-b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=2a}\\{12+4a+b=-b}\end{array}\right.$，解得a=$-\frac{3}{2}$，b=-3，
则f（x）=x³$-\frac{3}{2}$x²+3x+1；
（Ⅱ）由（1）得，f′（x）=3x²-3x-3，
∴g（x）=f'（x）e^-x=3（x²-x-1）e^-x=$3•\frac{{x}^{2}-x-1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$3•\frac{{（x}^{2}-x-1）′{e}^{x}-（{x}^{2}-x-1）（{e}^{x}）′}{{（e}^{x}）^{2}}$=$3•\frac{-{x}^{2}+3x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）=0得x=0或x=3，
∴当0＜x＜3时，g′（x）＞0；当x＜0或x＞3时g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，3）上递增，在（-∞，0）和（3，+∞）上递减，
即当x=0时，g（x）取到极小值g（0）=-3，
当x=3时，g（x）取到极大值g（3）=$\frac{15}{{e}^{3}}$．

点评 本题考查了求导公式和法则，导数与函数的单调性、极值的关系，考查了方程思想，化简、变形能力．