Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）当时，，其定义域是 又

                    …………2分

 令，即，解得或． ，

∴  ． 当时，；当时，．

∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

 ∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

 ∴ 函数只有一个零点．                    ……………………6分

（Ⅱ）显然函数的定义域为

∴    ……7分

①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分

②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，只要恒成立，

解得或

综上，实数的取值范围是      …………12分