题目内容
若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有（ ）
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、4个 |
分析：根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，则圆的方程可得，把M，F点的坐标代入整理求得h，和g，则圆的方程可得．
解答：解：抛物线y2=4x的焦参数p=2，所以F（1，0），直线l：x=-1，即x+1=0，
设经过点M（4，4）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（g，h），
则半径为Q到，l的距离，即1+g，所以圆的方程为（x-g）2+（y-h）2=（1+g）2，
将M、F的坐标代入，得（4-g）2+（4-h）2=（1+g）2，（1-g）2+（0-h）2=（1+g）2，
即h2-8h+1=10g①，
h2=4g②，②代入①，
得3h2+16h-2=0，
解得h1=
，h2=-
，（经检验无增根）
代入②得g1=
，g2=
，
所以满足条件的圆有两个：
（x-
）2+（y-
）2=（
）2，
（x-
）2+（y+
）2=（
）2．
故选C
设经过点M（4，4）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（g，h），
则半径为Q到，l的距离，即1+g，所以圆的方程为（x-g）2+（y-h）2=（1+g）2，
将M、F的坐标代入，得（4-g）2+（4-h）2=（1+g）2，（1-g）2+（0-h）2=（1+g）2，
即h2-8h+1=10g①，
h2=4g②，②代入①，
得3h2+16h-2=0，
解得h1=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
代入②得g1=
67-8
| ||
| 18 |
67+8
| ||
| 18 |
所以满足条件的圆有两个：
（x-
67-8
| ||
| 18 |
| ||
| 3 |
85-8
| ||
| 18 |
（x-
67+8
| ||
| 18 |
| ||
| 3 |
85+8
| ||
| 18 |
故选C
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和圆的标准方程．考查了运用待定系数法求圆的方程以及圆与圆锥曲线的位置关系．
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