Question

已知点P（2，1），若抛物线y²=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是

 

．

Answer 1

分析：先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得A，B的横坐标与直线的斜率之间的关系式，结合弦AB恰好是以P为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出直线方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直线方程为：y-1=k（x-2）
即y=kx+1-2k
联立

y=kx+1-2k y2=4x

整理得k²x²+[2k（1-2k）-4]x+（1-2k）²=0．
所以有x₁+x₂=-

2k(1-2k)-4

k2

∵弦AB恰好是以P为中点，
∴-

2k(1-2k)-4

k2

=4
解得k=2．
所以直线方程为 y=2x-3，即2x-y-3=0．
故答案为：2x-y-3=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式．