题目内容
设直线y=2x-4与抛物线y2=4x交于A，B两点（点A在第一象限）．
（Ⅰ）求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线y2=4x的焦点为F，求cos∠AFB的值．
（Ⅰ）求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线y2=4x的焦点为F，求cos∠AFB的值．
分析：（Ⅰ）由直线y=2x-4与抛物线y2=4x，消y得一元二次方程，解方程，即可确定A，B两点的坐标；
（Ⅱ）解一：确定
=(3，4)，
=（0，-2），利用向量的夹角公式，可求cos∠AFB的值．
解二：求出|AB|、|FA|、|FB|=2，利用余弦定理，可求cos∠AFB的值．
（Ⅱ）解一：确定
| FA |
| FB |
解二：求出|AB|、|FA|、|FB|=2，利用余弦定理，可求cos∠AFB的值．
解答：解：（Ⅰ）由
，消y得：x2-5x+4=0…（3分）
解出x1=1，x2=4，于是，y1=-2，y2=4
因点A在第一象限，所以A，B两点坐标分别为A（4，4），B（1，-2）…（6分）
（Ⅱ）解一：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由（Ⅰ）知，A（4，4），B（1，-2），
=(3，4)，
=（0，-2）…（10分）
于是，cos∠AFB=
=
=-
…（14分）
解二：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由两点间的距离公式可得|AB|=
=3
，|FA|=5，|FB|=2…（11分）
由余弦定理可得cos∠AFB=
=
=-
…（14分）
|
解出x1=1，x2=4，于是，y1=-2，y2=4
因点A在第一象限，所以A，B两点坐标分别为A（4，4），B（1，-2）…（6分）
（Ⅱ）解一：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由（Ⅰ）知，A（4，4），B（1，-2），
| FA |
| FB |
于是，cos∠AFB=
| ||||
|
|
| (3，4)•(0，-2) |
| 5×2 |
| 4 |
| 5 |
解二：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由两点间的距离公式可得|AB|=
| (4-1)2+(4+2)2 |
| 5 |
由余弦定理可得cos∠AFB=
| |FA|2+|FB|2-|AB|2 |
| 2|FA||FB| |
| 25+4-45 |
| 2×5×2 |
| 4 |
| 5 |
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查角的计算，正确运用向量知识、余弦定理是关键．
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