Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，．
（1）求证：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）证明线面垂直，要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，首先是圆的直径，因此有，而分别是的中点，因此有，从而，再看已知条件，则点在平面内的射影为的外心，即点，即平面，从而有，因此有平面；（2）棱锥的体积，就是的体积，而棱锥的高就是，底面是，又是弧的中点，因此有，从而有，，底面积、体积均可求．
（1）∵VA=VB，O为AB中点，∴．
连接，在和中，,
∴≌DVOC ，∴=ÐVOC=90°， ∴
∵, 平面ABC, 平面ABC, ∴VO⊥平面ABC．
∵平面ABC，∴．
又∵，是的中点，∴．
∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，，∴ AC平面DOV．
（2）由（2）知是棱锥的高，且．
又∵点C是弧的中点，∴，且，
∴三角形的面积，             
∴棱锥的体积为
故棱锥的体积为．                12分