Question

【题目】已知函数．

（）若曲线与直线相切于点，求点的坐标．

（）令，当时，求的单调区间．

（）当，证明：当， ．

Answer 1

【答案】（）（）单调增区间为单调减区间为（）见解析

【解析】试题分析：

（1）设点，根据可解得，从而可得点的坐标．（2）由题意得，又， ，故．从而根据的符号可得函数的单调区间。（3）结合（2），令，分①和②两种情况都可证得当时， ．从而可得，即不等式成立。

试题解析：

（）设点，

由，得，

由题意得，解得，

∴，

∴点的坐标为．

（）由题意得，

∴，

∵， ，

∴．

由，解得，

由，解得.

∴函数的单调减区间为，单调增区间为．

（）由（2）得

设，则，

由，得，

①当时，

则，

∴在单调递增，

∴，

②当时，

令，得，

当时， ， 单调递减，

时， ， 单调递增。

∴，

综上当时， ．

∴在单调递减，在单调递增．

∴当极小值，也为最小值，且。

∴在成立．