Question

设椭圆E：的上焦点是F₁，过点P（3，4）和F₁作直线PF₁交椭圆于A、B两点，已知A（）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C是椭圆E上到直线PF₁距离最远的点，求C点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A（）和P（3，4）能求出直线PF₁的方程为：y=x+1，令x=0，得椭圆E的焦点为F₁（0，1）、F₂（0，-1），由椭圆的定义能求出椭圆E的方程．
（2）设与直线PF₁平行的直线l：y=x+m，由，得3x²+2mx+m²-2=0，再由根的判别式结合题设条件，能求出C点的坐标．．
解答：解：（1）由A（）和P（3，4）得直线PF₁的方程为：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
椭圆E的焦点为F₁（0，1）、F₂（0，-1），
由椭圆的定义可知…（4分）
∴…（5分）
椭圆E的方程为…（6分）
（2）设与直线PF₁平行的直线l：y=x+m…（7分），
由，消去y得3x²+2mx+m²-2=0…（8分）
△=（2m）²-4×3×（m²-2）=0，
即…（9分）
要使点C到直线PF₁的距离最远，
则直线L要在直线PF₁的下方，所以…（10分）
此时直线l与椭圆E的切点坐标为，
故C为所求．   …（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和求点的坐标，具体涉及到椭圆的定义、直线方程的求法、椭圆的简单性质、根的判别式、直线与椭圆的位置关系等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．