Question

在△ABC中，若AB=2，AC=

2

BC，则S_△ABC的最大值（　　）

• A、

  6

• B、2

  2

• C、3
• D、2

  3

Answer 1

分析：设BC=x，则AC=

2

x，利用三角形的两边之和大于第三边可求2(

2

-1)＜x＜2(

2

+1)，先利用余弦定理求出cosA，再利用同角平方关系求SinA，代入三角形的面积公式整理可得S=

1

4

-x4+24x2-16

，换元t=x²，从而转化为求S=

-(t-12)2+128

4

在区间（12-8

2

，12+8

2

)上的最大值，结合二次函数的图象可求面积的最大值．

解答：解：设BC=x，则AC=

2

x
由三角形的两边之和大于第三边可得

x+ 2 x＞2 x+2＞ 2 x

∴2(

2

-1)＜x＜2(

2

+1)
△ABC中，由AB=2，BC=x，AC=

2

x，利用余弦定理可得cosA=

4+2x2-x2

4 2 x

=

4+x2

4 2 x

sinA=

1-cos2A

=

- x4+24x2-16 32x2

S△ABC=

1

2

×2×

2

x•sinA=

2

x•

1

4 2 x

•

-x4+24x2-16

=

-x4+24x2- 16

4

令t=x²，则t∈(12-8

2

，12+8

2

)
S=

1

4

-t2+24t-16

=

1

4

-(t-12)2+128

当t=12时，即x=2

3

，面积s有最大值2

2

故选B

点评：本题以解三角形为切入点，结合三角形的两边之和大于第三边的性质，从而可得x的范围，还考查了三角函数的同角平方关系的应用，把所要求的三角形的面积转化为二次函数在区间上的最值，体现了转化思想在解题中的运用，本题是一道综合性很好的试题．