Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）要证AB₁⊥面A₁BD，只需证明直线AB₁垂直面A₁BD内的两条相交直线B₁O、AB₁即可；
（2）设AB₁与A₁B交于点G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，
说明∠AFG为二面角A-A₁D-B的平面角，然后解三角形，求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）利用等体积法，求点C到平面A₁BD的距离．
法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积等于0证明垂直，
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
向量共线证明平行，向量数量积求出二面角的大小
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
距离公式求出距离，解答（3）求点C到平面A₁BD的距离．
解答：证明：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．
连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）设AB₁与A₁B交于点G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，
由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD．∴AF⊥A₁D，∴∠AFG为二面角A-A₁D-B的平面角．
在△AA₁D中，由等面积法可求得，
又∵，
∴．
所以二面角A-A₁D-B的大小为．
（Ⅲ）△A₁BD中，，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距离为=．
设点C到平面A₁BD的距离为d．
由得，∴．∴点C到平面C的距离为．
法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中点O₁，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），，，B₁（1，2，0），
∴，，．
∵，，
∴，．
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）设平面A₁AD的法向量为n=（x，y，z）．，．
∵，，
∴∴∴
令z=1得为平面A₁AD的一个法向量．
由（Ⅰ）知AB₁⊥平面A₁BD，∴为平面A₁BD的法向量．cos＜n，．
∴二面角A-A₁D-B的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面A₁BD法向量，∵．
∴点C到平面A₁BD的距离．
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．