题目内容
已知向量
=（a，cos2x），
=（1+sin2x，
），x∈R，记f（x）=
•
．若y=f（x）的图象经过点（
，2 ）．（1）求实数a的值；
（2）设x∈[-
，
]，求f（x）的最大值和最小值；（3）将y=f（x）的图象向右平移
，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
【答案】分析：（1）表示出函数f（x）后将点代入即可求出a的值．
（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．
（3）先将函数f（x）平移变换得到函数g（x），再求其单调区间．
解答：解：（1）∵f（x）=
•
=a（1+sin2x）+
cos2x 经过点（
，2 ）．
∴f（
）=2∴a=1；
（2）∵a=1∴f（x）=sin2x+
cos2x+1=2sin（2x+
）+1
∵x∈[-
，
]∴2x+
∴f（x）min=0，f（x）max=3
（3）∵将y=f（x）的图象向右平移
可得 y=2sin（2x+
）+1
将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（
x+
）+1
令
可求出
故函数g（x）的单调递减区间为：
点评：本题主要考查三角函数的最值和单调区间．求三角函数的单调区间和最值时要注意整体思想．
（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．
（3）先将函数f（x）平移变换得到函数g（x），再求其单调区间．
解答：解：（1）∵f（x）=
•
=a（1+sin2x）+
cos2x 经过点（
，2 ）．∴f（
）=2∴a=1；（2）∵a=1∴f（x）=sin2x+
cos2x+1=2sin（2x+
）+1∵x∈[-
，
]∴2x+
∴f（x）min=0，f（x）max=3
（3）∵将y=f（x）的图象向右平移
可得 y=2sin（2x+
）+1将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（
x+
）+1令
可求出
故函数g（x）的单调递减区间为：
点评：本题主要考查三角函数的最值和单调区间．求三角函数的单调区间和最值时要注意整体思想．
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