Question

5．己知集合p={x∈R|x²-3x+b=0}，Q={x∈R|（x+1）（x²+3x-4=0}
（1）若b=4时，存在集合M，使得P?M?Q，求出这样的集合M；
（2）P是否能成为Q的一个子集？若能．求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程x²-3x+4=0的判别式△后即求出AP，再求出（x+1）（x²+3x-4）=0的根即求出Q，再由条件列出集合Q的非空子集即为集合M．
（2）分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）由于方程x²-3x+4=0的判别式△=9-16=-7＜0，知P=∅，
由（x+1）（x²+3x-4）=0得，x+1=0或x²+3x-4=0，解得x=-1或1或-4，Q={-1，1，-4}，
∵P?M⊆Q，∴集合M≠∅，且其元素全属于Q，即集合M为集合Q的非空子集：{1}或{-1}或{-4}或{-1，1}或{-1，-4}或{1，-4}．
（2）Q={-1，1，-4}，P⊆Q
P=∅，△=9-4b＜0，∴b＞$\frac{9}{4}$；
△=0，P={$\frac{3}{2}$}?Q；
∵x²-3x+b=0的两根的和为3，Q={-1，1，-4}，∴P⊆Q不成立，
∴P⊆Q，b＞$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了集合间的包含关系和列举法求已知集合的子集，解题的关键：充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．