Question

数{a_n}满足a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

（n≥2），则a_n的通项公式为

 

．

Answer 1

分析：根据题干条件an=an-1+

1

n2-1

可知a_n-a_n-1=

1

n2-1

=

1

(n+1)(n-1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），即可求出数列a_n的通项公式．

解答：解：∵an=an-1+

1

n2-1

，
∴a_n-a_n-1=

1

n2-1

=

1

(n+1)(n-1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），
∴a_n-a₁=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

），
∴a_n=

5

4

-

2n+1

2n(n+1)

，
故答案为a_n=

5

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

点评：本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用列项相消进行求和，此题比较简单．