题目内容

已知正项数{an}满足a1= a (0<a<1) ，且，求证：

(I) ；        (II) .

解析：(I) 将条件变形，得.

              于是，有，，，…….

              将这n-1个不等式叠加，得，故.

 (II) 注意到0<a<1，于是由(I)得=，

              从而，有.

 

练习册系列答案
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已知正项等比数{an}中，a1=3，a3=243，若数列{bn}满足bn=log3an，则数列{
1
bnbn+1
}的前n项和Sn=（　　）
已知三次函数f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）的导数为f′（x）满足条件：
（i）当x∈R时，f′（x-4）=f′（2-x），且f′（x）≥x；
（ii）当x∈（O，2）时，f′（x）≤(
x+1
2
)2；
（iii）f′（x）在R上的最小值为0．数列{an}是正项数列，{an}的前n项的和是Sn，且满足Sn=f′（an）．
（1）求f′（x）的解析式；
（2）求证：数列{an}是等差数列；
（3）求证：
C
0
n
a1
+
C
1
n
a2
+
C
2
n
a3
+…+
C
n
n
an+1
≤2n-1•
a1+an+1
a1an+1
．
如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列bn的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列bn是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．

若数列{an}满足，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是

[　　]

A．10

B．100

C．200

D．400

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