Question

如图,已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC₁上的点,且CN=2C₁N.

(1)求二面角B₁AMN的平面角的余弦值;

(2)求点B₁到平面AMN的距离.

Answer 1

解法一:(1)因为M是底面BC边上的中点,所以AM⊥BC.

又AM⊥CC₁,所以AM⊥面BCC₁B₁.从而AM⊥B₁M,AM⊥NM,

所以∠B₁MN为二面角B₁AMN的平面角.

又B₁M=,

MN=,

连结B₁N,得B₁N=.

在△B₁MN中,由余弦定理得cos∠B₁MN=.

故所求二面角B₁AMN的平面角的余弦值为.

(2)过B₁在面BCC₁B₁内作直线B₁H⊥MN,H为垂足,

又AM⊥面BCC₁B₁,所以AM⊥B₁H.于是B₁H⊥平面AMN,

故B₁H即为B₁到平面AMN的距离.

在Rt△B₁HM中,B₁H=B₁Msin∠B₁MH==1,

故点B₁到平面AMN的距离为1.

解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则B₁(0,0,1),M(0, ,0),C(0,1,0),N(0,1, ),A(-, ,0),

所以,=(,0,0), =(0,- ,1), =(0, ,).

因为·=×0+0×(-)+0×1=0,

所以⊥.同法可得⊥.

故〈,〉为二面角B₁-A-MN的平面角.

所以cos〈,〉=.

故所求二面角B₁AMN的平面角的余弦值为.

(2)设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由n⊥,n⊥得

故可取n=(0,-,1).

设与n的夹角为α,则cosα=.

所以B₁到平面AMN的距离为||·|cosα|=×=1.