Question

【题目】某地要建造一个边长为2（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区.

（1）求证：；

（2）设点的横坐标为，

①用表示、两点的坐标；

②将四边形的面积表示成关于的函数，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①M（，0），N（，2）②S＝4﹣（t），其中0＜t＜1，S的最大值是4．

【解析】

（1）根据函数y＝ax2过点D，求出解析式y＝2x2；

由消去y，利用△＝0证明结论成立；

（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，

利用直线方程求出M、N的坐标；

②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），

利用基本不等式即可求出S的最大值．

（1）函数y＝ax2过点D（1，2），

代入计算得a＝2，

∴y＝2x2；

由，消去y得2x2﹣kx﹣b＝0，

由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，

得△＝（﹣k）2﹣4×2×b＝0，

解得b；

（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，

∴点P（t，2t2）；

①直线MN的方程为y＝kx+b，

即y＝kx过点P，

∴kt2t2，

解得k＝4t；

y＝4tx﹣2t2

令y＝0，解得x，∴M（，0）；

令y＝2，解得x，∴N（，2）；

②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为

S＝S（t）＝2×22×[（）]＝4﹣（t），其中0＜t＜1；

由t2，当且仅当t，即t时“＝”成立，

所以S≤4；即S的最大值是4．