Question

已知函数f（x）=x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与-的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．
解答：解：（1）f'（x）=x²-4x+3，则f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1，+∞）；------------（4分）
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------（6分）
解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈（-∞，2-]∪（1，3）∪[2+，+∞）；-------------------------------（9分）
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
则切线方程是：y-（-2+3x₁）=（-4x₁+3）（x-x₁），
化简得：y=（-4x₁+3）x+（-+2），--------------------------（11分）
而过B（x₂，y₂）的切线方程是y=（-4x₁+3）x+（-+2），--------------------------（，
由于两切线是同一直线，
则有：-4x₁+3=-4x₁+3，得x₁+x₂=4，----------------------（13分）
又由-+2=-+2，
即-（x₁-x₂）（+x₁x₂+）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-（+x₁x₂+）+4=0，即x₁（x₁+x₂）+-12=0
即（4-x₂）×4+-12=0，-4x₂+4=0
得x₂=2，但当x₂=2时，由x₁+x₂=4得x₁=2，这与x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．----------------------------------（16分）
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．