题目内容

已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）设函数 $数学公式$ ，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

解：（1）∵sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB
∴由正弦定理化简已知的等式得：a²+b²=c²+ab，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵0＜C＜ $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ω=2，∴f（A）= $\text{[math]}$
∵C= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，0＜A＜ $\text{[math]}$ ，0＜B＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜2A- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴0＜f（A）≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据正弦定理找到角与边的关系，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而得到答案；
（2）先确定函数解析式，再确定角的范围，利用三角函数图象的性质，即可得到结论．
点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

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（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x²+y²=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k=

+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜

)，∠xOB=β(π＜β＜

)，求sin(α+β)的值．

（2012•安徽模拟）给出下列命题，其中正确的命题是

（写出所有正确命题的编号）．
①非零向量

的夹角为30°；
②已知非零向量

的夹角为锐角”的充要条件；
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知

，若点P在△ABC所在的平面内，则x+y=3”的否命题为真命题；
④若(

)=0，则△ABC为等腰三角形．

已知函数f(x)=2sin(x-

)cosx+sinxcosx+

sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f(B)=

，D是BC边上一点，AB=AD，试求AD+DC的最大值．

给出下列命题：

(1)α、β是锐角△ABC的两个内角，则sinα＜sinβ；

(2)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围为()；

(3)已知与为互相垂直的单位向量，＝－2，＝＋λ且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是；

(4)已知O是△ABC所在平面内定点，若P是△ABC的内心，则有＝＋λ()，λ∈R；

(5)直线x＝－是函数y＝sin(2x－)图象的一条对称轴．

其中正确命题是

A．(1)(3)(5)

B．(2)(4)(5)

C．(2)(3)(4)

D．(1)(4)(5)

己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且

(I )求角大小；

(II)当时，求的取值范围.

20．如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；

（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

21.已知A，B是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程；

（2）求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.