Question

如图,为了测量河对岸两个建筑物C、D之间的距离,在河岸这边取两点A、B,测得∠BAC=45°,

∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面内,试求C、D之间的距离.

   

Answer 1

思路分析:这是典型的利用近处的两个地点测量不能到达的两点间的距离的问题,一般需要构造几个三角形来解决问题.这几个三角形一般采用如图的△ABC、△ABD、△ACD(或△BCD).先在△ABC中利用正弦定理求出AC(或BC),再在△ABD中求出AD(或BD),然后在△ACD(或△BCD)中结合∠DAC(或∠DBC),再利用余弦定理求出CD的长.

    解:由题意,∠ABC=30°+45°=75°,

∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-45°-75°=60°.

    在△ABC中,=,

∴AC==.

    在△ABD中,∠DAB=75°+45°=120°,∠ADB=30°,

∴△ABD为等腰三角形.∴AD=AB=.

    在△ACD中,由余弦定理得

CD²=AD²+AC²-2AD·AC·cos∠DAC=()²+()²-2···=5.

∴CD=(千米).