Question

1．在等比数列{a_n}中，前5项的积为1，a₆=8，设b_n=log₂a_n．数列{b_n}的前n项和为T_n，则T_n的最小值为-3．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由于前5项的积为1，a₆=8，利用通项公式可得${a}_{1}^{5}$q^1+2+3+4=1即${a}_{1}{q}^{2}$=1，${a}_{1}{q}^{5}$=8，解出q，a₁．可得a_n．可得b_n=log₂a_n．再利用等差数列的前n项和公式可得：数列{b_n}的前n项和T_n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵前5项的积为1，a₆=8，
∴${a}_{1}^{5}$q^1+2+3+4=1即${a}_{1}{q}^{2}$=1，${a}_{1}{q}^{5}$=8，
∴q³=8，解得q=2．
a₁=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
设b_n=log₂a_n=n-3．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（-2+n-3）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$=$\frac{1}{2}（n-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{25}{8}$．
∴当n=2或3时，T_n取得最小值为-3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．