Question

8．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为$\sqrt{15}$，求此抛物线方程．

Answer 1

分析 设抛物线的方程为x²=2py，与直线x-2y-1=0联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程．

解答 解：设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设抛物线的方程为x²=2py，与直线x-2y-1=0联立，消去y得x²-px+p=0，则x₁+x₂=p，x₁•x₂=p．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{{p}^{2}-4p}$=$\sqrt{15}$，
化简可得p²-4p-12=0，∴p=6或-2，
∴x²=12y或x²=-4y．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．