Question

20．数列{x_n}的前n项和为S_n，且满足：若S_n=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_n}$（x∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤$\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$，a₁=1，求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）${a_n}≤\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$，而a_n＞0，x_n＞0，k可得 $\frac{1}{a_n}≥\frac{1}{x_n}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}\Rightarrow$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥\frac{1}{x_n}$，利用“累加求和”方法可得 $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}≥\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}$，再利用等比数列的求和公式可得：${a_n}≤\frac{2}{{{3^n}-1}}$．进而得出．

解答 解：（1）由${S_n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_n}$ …①，得：${S_1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_1}$，x₁=1≠0．
当n≥2 时，${S_{n-1}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_{n-1}}$ …②，
①-②可得：${x_n}=\frac{1}{3}{x_{n-1}}$ （n≥2 ），∴${x_n}={（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$．
（2）${a_n}≤\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$，而a_n＞0，x_n＞0，
$\therefore$ $\frac{1}{a_n}≥\frac{1}{x_n}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}\Rightarrow$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥\frac{1}{x_n}$，
$\therefore$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}≥\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}$，
∵a₁=1，$\therefore$ $\frac{1}{a_n}≥1+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}=1+3+{3^2}+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
$\therefore$ ${a_n}≤\frac{2}{{{3^n}-1}}$．
设S_n=a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n，∵${S_n}={a_1}{x_1}+{a_2}{x_2}+{a_3}{x_3}+…+{a_n}{x_n}≤1×1+\frac{2}{8}×\frac{1}{3}+\frac{2}{26}×\frac{1}{9}+…+\frac{2}{{{3^n}-1}}×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$，
当n=1 时，${S_1}=1＜\frac{9}{8}$ 当n=2 时，${S_2}≤1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}＜\frac{9}{8}$，
当n≥3 时，${a_n}{x_n}≤\frac{2}{{（{{3^n}-1}）{3^{n-1}}}}＜\frac{2}{{{3^{2n-1}}-{3^{n-1}}}}=\frac{2}{{2•{3^{2n-2}}+{3^{2n-2}}-{3^{n-1}}}}＜\frac{1}{{{3^{2n-2}}}}$
$\therefore$ ${S_n}＜1+\frac{1}{12}+（{\frac{1}{9^2}+\frac{1}{9^3}+…+\frac{1}{{{9^{n-1}}}}}）=\frac{79}{72}-\frac{1}{{{9^{n-1}}}}＜\frac{79}{72}＜\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、“累加求和”、“裂项求和”方法、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．