题目内容

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，
a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足bn=

Sn2

Sn-2

(n≥2)．
（1）证明：

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a94=-

9

105

时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

分析：（1）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到S_n与S、S_n-1之间的递推关系，即可证明所证结果；
（2）利用（1）得到的关系式，先求出S_n的通项公式，即可利用b_n=S_n-S_n-1，求{b_n}的通项公式；
（3）由题意第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通项公式和a₈₁的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．

解答：解：（1）证明：由已知，bn=

Sn2

Sn-2

(n≥2)，所以，当n≥2时，

2bn

bnSn-

S

2

n

=1，
又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn-

S

2

n

=1⇒

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
（2）因为S₁=b₁=a₁=1．所以数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，⇒Sn=

2

n+1

．
所以当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
因此bn=

1，n=1

-

2

n(n+1)

，n≥2

（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为1+2+…+12+13=

14×13

2

=91，
所以表中第1行至第13行共含有数列{a_n}的前91项，故a₉₄在表中第14行第三列，
因此a94=b14•q2=-

9

105

．又b14=-

2

14×15

，所以q=3．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则S=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-3k)

1-3

=

1

k(k+1)

(1-3k)(k≥3)．

点评：本题重点考查了数列中的已知前n项的和，求解通项公式，还考查了等差数的定义，考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．

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记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

=1(n≥2)．
（1）求证数列{

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-

时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表．记表中第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足2b_n=b_nS_n-S_n²（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证数列 $数学公式$ 成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当 $数学公式$ 时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
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…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
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