Question

（本小题满分14分）
已知函数，数列满足：，N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）令函数，数列满足：，N*），
求证：对于一切的正整数，都满足：．

Answer 1

（1）；（2）见解析。

本题考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理裂项求和法的合理运用．
（1）因为，则，得，即，∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，得到通项公式。
（2），故，又，故，
则，即，利用裂项法得到和式。
（1），则，得，即，∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，…………4分
∴，即…………6分
（2），故，又，故，
则，即．…………8分
∴
=． …………11分
又，………14分
故．…………14分