Question

已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于，总有成等差数列.

(I )求数列{a_n}的通项a_n；

(II )设数列的前n项和为T_n,数列{T_n}的前n项和为R_n,求证：时，；

(III)对任意，试比较与的大小

 

Answer 1

【答案】

（I）a_n=1+(n-1)·1=n (n∈N^*)．（2）略 （3）

【解析】(I )由条件得，递写相减得a_n+1-a_n=1，由等差数列求得通项；(II )求出两边表达式证明相等；(III)数学归纳法或不等式证明。

解：（I）由题意，得（n∈N*）．

于是，

两式相减，得，

即a_n+1+a_n=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，

由题，a_n>0，a_n+1+a_n≠0，

得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列．

又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．

∴ a_n=1+(n-1)·1=n (n∈N^*)．……………………………………………5分

（II）证法一：由（I）知，于是，

于是当n≥2时，

=

=

=

==n(T_n-1).    ……………………………10分

法二：①当n=2时，R₁=T₁==1，2(T₂-1)=2(=1，

∴ n=2时，等式成立．

②假设n=k（k≥2）时，等式成立，即，

当n=k+1时，

==  = 

 ==  =．

∴ 当n=k+1时，等式也成立．

综合①②知，原等式对n≥2，n∈N*均成立．   …………………………10分

（III）由（I）知，．

由分析法易知，，

当k≥2时，

，∴

．即．