Question

椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左右焦点分别是F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=

3

(x+c)与椭圆交于M点，满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则离心率是（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  3

  -1
• C．

  3 -1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：依题意知，直线y=

3

（x+c）经过椭圆的左焦点F₁（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF₂F₁=30°，设|MF₁|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．

解答：解：∵椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），作图如右图：
∵椭圆的焦距为2c，
∴直线y=

3

（x+c）经过椭圆的左焦点F₁（-c，0），又直线y=

3

（x+c）与椭圆交于M点，
∴倾斜角∠MF₁F₂=60°，又∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₂F₁=30°，
∴∠F₁MF₂=90°．
设|MF₁|=x，则|MF₂|=

3

x，|F₁F₂|=2c=2x，故x=c．
∴|MF₁|+|MF₂|=（

3

+1）x=（

3

+1）c，
又|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴2a=（

3

+1）c，
∴该椭圆的离心率e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
故选：B．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=

3

（x+c）经过椭圆的左焦点F₁（-c，0）是关键，属于中档题．