题目内容
给出下列五个结论其中正确的是（ ）
①若实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则
的最大值为
；②椭圆
+
=1与椭圆
+
=1有相同的离心率；③双曲线
+
=1的焦点坐标是（1，0），（-1，0）④圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是k∈(-
，
)⑤设a＞1，则双曲线
-
=1的离心率e的取值范围是(
，
)．
①若实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则
| y |
| x |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| x2 |
| 2 |
| 2y2 |
| 3 |
| x2 |
| 2-k |
| y2 |
| 3-k |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| (a+1)2 |
| 2 |
| 5 |
分析：根据圆锥曲线的性质逐一判断，①应用斜率的几何意义，把
看成点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，即可通过求圆的切线斜率来计算；②椭圆的离心率e=
，所以要判断两个椭圆的离心率是否相同，只需求出两个椭圆中的a，c的值；③要求双曲线的焦点坐标，必须求出c的值以及焦点所在坐标轴；④直线与圆若没有公共点，这直线与圆相离，圆心到直线的距离大于半径；⑤要求离心率的范围，只需用含参数a的式子表示离心率，再根据a的范围求出e的范围．
| y |
| x |
| c |
| a |
解答：解：①
=
，可看成点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，也即圆（x-2）2+y2=3上点与坐标原点连线的斜率．
∴
的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设过原点的圆的切线方程为y=kx，即kx-y=0，
圆（x-2）2+y2=3的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离
=
，解得k=±
，∴
的最大值为
，∴①正确．
②椭圆
+
=1中a=2，c=1，∴离心率为
，椭圆
+
=1中a=
，c=
，∴离心率为
，∴②正确．
③∵双曲线方程为
+
=1，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴双曲线的焦点在y轴上，
且c2=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦点坐标为（0，±1），∴③错误．
④若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即
＞1，解得，-
＜k＜
，若-
＜k＜
，则圆心到直线的距离大于半径，∴圆与直线无公共点，∴圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是k∈(-
，
)，∴④正确．
⑤∵双曲线方程为
-
=1，∴c2=a2+（a+1）2，
∴e2=
=
=(
)2+
+2=(
+1)2+1，∵a＞1，∴0＜
＜1，
∴2＜e2＜5，∴
＜e＜
∴⑤正确．
故选D
| y |
| x |
| y-0 |
| x-0 |
∴
| y |
| x |
圆（x-2）2+y2=3的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离
| |2k| | ||
|
| 3 |
| 3 |
| y |
| x |
| 3 |
②椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 2 |
| 2y2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③∵双曲线方程为
| x2 |
| 2-k |
| y2 |
| 3-k |
且c2=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦点坐标为（0，±1），∴③错误．
④若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即
| 2 | ||
|
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
⑤∵双曲线方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| (a+1)2 |
∴e2=
| c2 |
| a2 |
| a2+(a+1)2 |
| a2 |
| 1 |
| a |
| 2 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴2＜e2＜5，∴
| 2 |
| 5 |
故选D
点评：本题主要考查圆锥曲线的一些性质，因为是多选题，只需逐个判断即可．
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的最大值为
；②椭圆
与椭圆
有相同的离心率；③双曲线
的焦点坐标是（1，0），（-1，0）④圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是
⑤设a＞1，则双曲线
的离心率e的取值范围是
．
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．