题目内容
函数f（x）满足2f（x）-f(
)=4x-
+1，数列{an}和{bn}满足下列条件：a1=1，an+1=2an+f（n），bn=an+1-an，n∈N；
（1）f（x）的解析式；
（2）求数列bn的通项公式；
（3）试比较2an与bn的大小，且证明你的结论．
| 1 |
| x |
| 2 |
| x |
（1）f（x）的解析式；
（2）求数列bn的通项公式；
（3）试比较2an与bn的大小，且证明你的结论．
分析：（1）由2f（x）-f(
)=4x-
+1，联立方程组
，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由题设，an+1=2an+2n+1，an+2=2an+1+2n+3，所以an+2-an+1=2（an+1-an）+2，即bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），由此能求出数列bn的通项公式．
（3）由an+1-an=3•2n-2，an+1-2an=2n+1，知an=3•2n-2n-3．所以2an-bn=3•2n-4n-4．由此能够判断比较2an与bn的大小，并进行证明．
| 1 |
| x |
| 2 |
| x |
|
（2）由题设，an+1=2an+2n+1，an+2=2an+1+2n+3，所以an+2-an+1=2（an+1-an）+2，即bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），由此能求出数列bn的通项公式．
（3）由an+1-an=3•2n-2，an+1-2an=2n+1，知an=3•2n-2n-3．所以2an-bn=3•2n-4n-4．由此能够判断比较2an与bn的大小，并进行证明．
解答：解：（1）∵2f（x）-f(
)=4x-
+1，
∴2f(
) -f(x)=
-2x+1，
联立方程组
，
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由题设，an+1=2an+2n+1 ①，
an+2=2an+1+2n+3 ②，
②-①：an+2-an+1=2（an+1-an）+2 （6′）
即bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），
∴{bn+2}为等比数列，
q=2，b1=a2-a1=4 （8′）
bn+2=6•2n-1⇒bn=3•2n-2 （10′）
（3）由上，an+1-an=3•2n-2 ③，
an+1-2an=2n+1 ④，
③-④：an=3•2n-2n-3 （12）
∴2an-bn=3•2n-4n-4．
n=1时，2a1-b1=-2＜0，
此时2an＜bn；
n=2时，2a2-b2=0，
此时2an=bn； （14′）
n≥3时，
3•2n
=3（1+1）n
=3（1+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn）
＞3（1+Cn1+Cnn-1）
=6n+3
＞4n+4，
此时，2an＞bn．
综上可得：当n=1时，2an＜bn，
当n=2时，2an=bn，
当n≥3时，2an＞bn．（18′）
| 1 |
| x |
| 2 |
| x |
∴2f(
| 1 |
| x |
| 4 |
| x |
联立方程组
|
|
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由题设，an+1=2an+2n+1 ①，
an+2=2an+1+2n+3 ②，
②-①：an+2-an+1=2（an+1-an）+2 （6′）
即bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），
∴{bn+2}为等比数列，
q=2，b1=a2-a1=4 （8′）
bn+2=6•2n-1⇒bn=3•2n-2 （10′）
（3）由上，an+1-an=3•2n-2 ③，
an+1-2an=2n+1 ④，
③-④：an=3•2n-2n-3 （12）
∴2an-bn=3•2n-4n-4．
n=1时，2a1-b1=-2＜0，
此时2an＜bn；
n=2时，2a2-b2=0，
此时2an=bn； （14′）
n≥3时，
3•2n
=3（1+1）n
=3（1+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn）
＞3（1+Cn1+Cnn-1）
=6n+3
＞4n+4，
此时，2an＞bn．
综上可得：当n=1时，2an＜bn，
当n=2时，2an=bn，
当n≥3时，2an＞bn．（18′）
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足2f(x)-f(
)=
，则f（x）的最小值是（ ）
| 1 |
| x |
| 1 |
| |x| |
| A、2 | ||||
B、2
| ||||
C、
| ||||
D、
|