Question

已知函数f（x）满足2f（x）+f（

1

x

）=x
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=3f（x）+

a

x

，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，从而求得 f（1 ）的值．
（2）由2f（x）+f（

1

x

）=x，用

1

x

 替换得 f（x）+2f（

1

x

）=x，解方程求得f（x） 的解析式．
（3）根据g（x）的解析式求出它的导数g′（x），由g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即 2-

a-1

x2

≤0，
得到 a≥2x²+1，x∈（0，2]，从而得到2x²+1∈（0，9]，故a≥9．

解答：解：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，∴f（1）=

1

3

．
（2）∵2f（x）+f（

1

x

）=x，用

1

x

 替换得 f（x）+2f（

1

x

）=x，解得f（x）=

2x2-1

3x

．
（3）g（x）=3f（x）+

a

x

=

2x2-1

x

+

a

x

=2x+

a-1

x

，∴g′（x）=2-

a-1

x2

，
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即  2-

a-1

x2

≤0，
∴a≥2x²+1   而 x∈（0，2]，则 2x²+1∈（0，9]，∴a≥9，
∴实数的取值范围为[0，9）．

点评：本题考查求函数的解析式的方法，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，求得 a≥2x²+1 且 x∈（0，2]，
是解题的难点．