题目内容

定义在区间（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），则f（x）=
2
3
lg(x+1)+
1
3
lg(1-x)
2
3
lg(x+1)+
1
3
lg(1-x)
．
分析：因为2f（x）-f（-x）=lg（x+1），用-x代替x，得，2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），两式联立消去f（-x），就可求出
f（x）．
解答：解：∵2f（x）-f（-x）=lg（x+1），①
∴2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），②
①×2+①，得，3f（x）=2lg（x+1）+lg（1-x）
∴f（x）=
2
3
lg(x+1)+
1
3
lg(1-x)
故答案为
2
3
lg(x+1)+
1
3
lg(1-x)
点评：本题主要考查利用方程的思想求函数解析式，关键是如何消掉2f（x）-f（-x）=lg（x+1）中的f（-x）．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列an满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（an）是等比数列，并求f（an）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列an满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（an）是等比数列，并求f（an）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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